設定は明快なのに答えがはっきりしなくて、色々議論されてきたようです。
私も随分悩みましたが、最近ようやく完全解決しましたので書いておきます。
眠り姫問題とは次のような問題です。
(文章や質問の内容は私がアレンジしています)
◇◇◇
日曜日にある実験が開始されます。
被験者はあなた。
被験者は日曜日に薬で眠らされます。
その後コインが投げられます。このコインの裏、表が出る確率は等しいものとします。
A:表が出た場合
被験者は月曜日に起こされて質問を受けます。これで実験終了です。
B:裏が出た場合
被験者は月曜日に起こされて質問を受けた後、薬で眠らされ、
火曜日に再び起こされて質問を受け、実験終了です。
薬の作用により月曜日に起きた記憶は残っておらず、被験者には曜日の区別はつかないものとします。
実験者は被験者が起きる度に密かにAかBかの記録をつけます。
以上のことを被験者は理解しているものとします。
被験者が起きる度に実験者が次の質問をします。
それぞれ正しい答えは何でしょうか。
質問1「コインを投げたときに表であった確率は？」
質問2「今私が書いた記録がAであった確率は？」
質問3「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
◇◇◇
質問1
コインを投げたときに表がでる確率も裏がでる確率も等しく1/2です。
よって表であった確率は1/2と考えられます。
(違うという人もいますが、話の都合上こういうことにしておきます)
質問2
実験記録に書かれるAの数の期待値は1/2、Bの数の期待値は1です。
実験記録中のAの数の割合は(1/2)/(1/2+1)=1/3
よって、Aと書いた確率は1/3と考えられます。
コインを投げたときに表であったとすれば、今は場合Aです。Aと記録することになります。
Aと記録するのはコインが表であったときだけです。
つまり、質問1と質問2は同じことを聞いているわけです。
ところが、1/2と1/3という異なる答えになってしまいました。
どうしてなのでしょうか。
1/2と1/3なら大した違いはないと思われるかもしれませんが、
これは設定次第でいくらでも差をつけることが可能なのです。
例えばコインの表が出る確率が9/10で裏が出る確率が1/10、
裏が出た場合は81回起こされる、という設定にすると、
質問1,2の答えがそれぞれ9/10,1/10となります。
こうなるとどちらでもいいとは言っていられません。
なんとしても決着をつけねばなりません。
質問3
場合Bの月曜日をB1、火曜をB2とし、Bの代わりにB1またはB2と記録をとることを考えます。
目覚めたときにA,B1,B2である確率をそれぞれP(A),P(B1),P(B2)とします。
主に次の3つの考え方があります。
解1
A,Bが起こる確率は1/2ずつですので、P(A)=1/2,P(B1)+P(B2)=1/2。
B1とB2は対等に考えてよいのでP(B1)=P(B2)=1/4。
B2の可能性がないと分かれば、Aである確率はP(A)/(P(A)+P(B1))=2/3。
解2
月曜日にはAである可能性もBである可能性もあります。
A,Bが起こる確率は1/2ですので、この場合もAである確率は1/2です。
解3
実験記録において、A,B1,B2の回数の期待値はすべて1です。
よって、P(A)=P(B1)=P(B2)=1/3と考えられます。
B2の可能性がないと分かれば、Aである確率はP(A)/(P(A)+P(B1))=1/2です。
解2と解3はたまたま答えが同じになりましたが、考え方は異なります。
一体どれが正しいのでしょうか。
もったいぶらずに結論を書きますと、質問1、質問2、質問3の答えはすべて1/2です。
先程の質問2の計算は間違っています。
どこが間違いなのか解説しましょう。
実験の結果記録内のAの割合は、
記録の中から無作為に一つを選んだときにそれがAである確率と等しいです。
これを計算してみます。
実験を1回行うと、
・1/2の確率で結果記録はA。その中から無作為に一つを選ぶと確率1でA
・1/2の確率で結果記録はB,B。その中から無作為に一つを選ぶと確率1でB
実験を1回行い、その結果記録の中から無作為に一つを選ぶと、
1/2の確率でA、1/2の確率でBとなるということです。
従って、Aと書いた確率は1/2です。
これは最初に考えた質問1の答えと一致します。
期待値を使った計算では1/3でした。なぜ値が違うのでしょうか。
実験を2回行った場合を考えてみましょう。
・1/4の確率で記録はA,A。その中からAが選ばれる確率は1
・1/4の確率で記録はA,B,B。Aが選ばれる確率は1/3
・1/4の確率で記録はB,B,A。Aが選ばれる確率は1/3
・1/4の確率で記録はB,B,B,B。Aが選ばれる確率は0
実験を2回行い、その記録の中から無作為に一つを選ぶと、Aが選ばれる確率は、
1/4*(1+1/3+1/3+0)=5/12
1/2にくらべると値が少し小さくなりました。
なぜ実験を1回行った場合と2回行った場合で確率が異なるのでしょう。
正しく計算ができていれば等しい確率になるはずですので、計算が正しくないのです。
なぜ正しくないのでしょうか。
それは、記録の選び方が実験内容と対応していないからです。
n回分の実験記録の中から一つを選択するということは、n回の実験分の目覚めの中から一つを選ぶということです。
つまり、次のような実験をしたことになります。
◇◇◇
1週目の日曜日にコインを投げて表、裏を決めます。
・表が出た場合、月曜日に起こします
・裏が出た場合、月曜と火曜に起こします
2週目の日曜日にコインを投げて表、裏を決めます。
・表が出た場合、月曜日に起こします
・裏が出た場合、月曜と火曜に起こします
(中略)
n週目の日曜日にコインを投げて表、裏を決めます。
・表が出た場合、月曜日に起こします
・裏が出た場合、月曜と火曜に起こします
被験者が起きた時にどの週の何曜日なのかは区別がつかないものとします。
目覚めたときに(その週の日曜に投げられたコインが)表であった確率は？
◇◇◇
nが2以上の場合は当初の実験とは別物ですので、確率が変わっても不思議ではありません。
実際異なるわけです。
期待値を使って計算した確率は、nが無限大のときの確率と思われます。
異なる実験の確率を計算しているので正しくないのです。
正しくは、1回の実験中の目覚めの中から1つを選んだときの確率ですので、
複数の実験の結果を使いたい場合は、
・無作為に実験の一つを選ぶ
・選ばれた実験の記録の中から無作為に一つを選ぶ
という手順を踏まないといけません。
この手順であれば、Aが選ばれる確率は1/2となります。
よって、質問1,2に対する答えは1/2です。
質問3については、A,B1のみを記録し、
記録の中から一つを無作為に選んだときにAが選ばれる確率を求めればよいです。
1回の実験での記録は確率1/2でAまたはB1となりますので、Aが選ばれる確率は1/2です。
解2の考えにあたります。
以上より質問1,2,3の答えはすべて1/2です。
この問題を考えて眠れない夜もあったりしましたが、これで完全に解決したと思われます。
これからは安眠できそうです。
次回は7/10 積読の恐怖の予定です。
以上は2017年に書いた文章です。
2022年に確率の基本を見直し、この問題について再考したものを投稿してあります。
(結論は変わりません)
wolframを使って計算したのですが、n=100000のとき、確率は0.333335みたいです…
返信削除Sum[Binomial[n, i]*i/(n*2 - i), {i, 0, n}]/(Power[2, n])
ご報告ありがとうございます。
削除ほぼ1/3ですね。
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返信削除質問3「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
…
質問3
場合Bの月曜日をB1、火曜をB2とし、Bの代わりにB1またはB2と記録をとることを考えます。
目覚めたときにA,B1,B2である確率をそれぞれP(A),P(B1),P(B2)とします。
…
解2
月曜日にはAである可能性もBである可能性もあります。
A,Bが起こる確率は1/2ですので、この場合もAである確率は1/2です。
…
質問3については、A,B1のみを記録し、
記録の中から一つを無作為に選んだときにAが選ばれる確率を求めればよいです。
1回の実験での記録は確率1/2でAまたはB1となりますので、Aが選ばれる確率は1/2です。
解2の考えにあたります。
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はじめまして
本好きさんの見解では
P(A) = 1/2
P(B1) = P(B2) = 1/4
ということですが、
その場合、質問3 の答は 1/2 ではありません。
確かに、
箱の中に A, B1 と書かれたボールが入っていたとして、「その中から一つを無作為に選んだときに A が選ばれる確率」は 1/2 です。
しかし、
A が入っている箱・B1とB2 が入っている箱、２つの見分けのつかない箱あるとして、被験者がまず箱をひとつ無作為に選び、目を閉じて箱からボールを取り出し、目を閉じたまま、それを実験者に見せ、実験者から「”今”貴方が取出したボールは、A もしくは B1 だ」という情報を得た場合、”被験者にとって” そのボールが「A である確率」は 1/2 ではありません。
この場合、被験者は実験者から得た「情報」によって再規格化を行う必要があり、正解は 2/3 です。
つまり、
「”今”が A もしくは B1 である」ことと、 実際に”実現した” B2 を恣意的に捨てた「A, B1 のみ」の「記録」は同義ではありません。
すみません、間違えました。訂正します。
返信削除（"A" を "A1" に名前を変えると）本好きさんの見解では
P(A1) = 1/2
P(B1) = P(B2) = 1/4
ということですが、
その場合、質問3 の答は 1/2 ではありません。
確かに、
箱の中に A1, B1 と書かれたボールが入っていたとして、「その中から一つを無作為に選んだときに A1 が選ばれる確率」は 1/2 です。
しかし、
A1 が入っている箱・B1とB2 が入っている箱、２つの見分けのつかない箱があるとして、被験者がまず箱をひとつ無作為に選び、目を閉じて箱からボールを取り出し、目を閉じたまま、それを実験者に見せ、実験者から「”今”貴方が取出したボールは、"1" が付いている」という情報を得た場合、”被験者にとって”、そのボールが「A1 である確率」は 1/2 ではありません。
この場合、被験者は実験者から得た「情報」によって再規格化を行う必要があり、正解は 2/3 です。
つまり、
「”今”が A1 もしくは B1 である」ことと、 実際に”実現した” B2 を恣意的に捨てた「A1, B1 のみ」の「記録」は同義ではありません。
はじめまして。
返信削除ご意見ありがとうございます。
遅読猫さんの箱とボールのたとえは不適切だと思います。
強いて箱とボールで例えるなら、
選ばれた箱からはすべてのボールを取り出すべきでしょう。
1/2の確率で箱を選び、選ばれた箱に応じて
A1を取り出すか、
2つのボール(B1とB2)を取り出します。
1つのボールを取り出したときそれがA1,B1,B2である確率はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
今取り出したボールがA1またはB1だという情報を得た場合、
それがA1である確率は1/2になります。
2つ取り出した時点でBの方だと分かってしまうのでこれも適切とは言い難いですね。
1つ取り出すたびに記憶を失うというということで(笑)。
＞1つのボールを取り出したときそれがA1,B1,B2である確率はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
返信削除＞今取り出したボールがA1またはB1だという情報を得た場合、
＞それがA1である確率は1/2になります。
そもそも、私の譬えでは、被験者が実験者から得る情報は
「”今”貴方が取出したボールは、A1 または B1 だ」
ではなく
「”今”貴方が取出したボールは、"1" が付いている」
です。
当然 この「情報」は、眠り姫問題では「”今”は月曜日だ」に相当します。
そして、この「情報」を得た場合、
P(A1) = 1/2、P(B1) = 1/4
が
P(A1) = 2/3、P(B1) = 1/3
に変わります。
計算は次のとおり：
実験者が被験者に「”今”貴方が取出したボールは、"1" が付いている」という情報を与える尤度比は
A1:B1 = 1:1
よって
情報を得た後の P(A1) = 1/2 / (1/2 + 1/4) = 2/3
情報を得た後の P(B1) = 1/4 / (1/2 + 1/4) = 1/3
です。
で、改めて
＞1つのボールを取り出したときそれがA1,B1,B2である確率はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
＞今取り出したボールがA1またはB1だという情報を得た場合、
＞それがA1である確率は1/2になります。
どうして
P(A1) = 1/2、P(B1) = 1/4
が、
P(A1) = 1/2、P(B1) = 1/2
に変わるか、ほにょこさんも計算で示して頂けないでしょうか？
一つの試行に対して発生する事象の発生確率を基に
削除条件付き確率を計算するのがベイズの定理。
一つの目覚めを一つの試行と考えると各試行は独立ではありませんので、
単純にベイズの定理を適用することはできないと思います。
この問題では1回の実験を一つの試行と考えるしかないでしょう。
事象として、
A1:コインを投げときに表が出て、月曜日に起こされた
B1:コインを投げたときに裏が出て、月曜日に起こされた
B2:コインを投げたときに裏が出て、火曜日に起こされた
などが考えられます。
起こされたときがA1,B1,B2である確率はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
なのでP(A1)=1/2,P(B1)=1/4,P(B2)=1/4としましたが、
これはA1,B1,B2の発生確率とは異なります。
裏が出たときにはB1もB2も起こりますので、
B1の発生確率は1/2、B2の発生確率も1/2です。
事象の発生確率をPR()で表すことにすると、
PR(A1)=PR(B1)=PR(B2)=1/2
PR(A1 or B1)=1ですので、
PR(A1)/PR(A1 or B1)=1/2
よって、P(A1)=P(B1)=1/2です。
＞起こされたときがA1,B1,B2である確率はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
削除＞なのでP(A1)=1/2,P(B1)=1/4,P(B2)=1/4としましたが、
＞これはA1,B1,B2の発生確率とは異なります。
まず、「確率」と「発生確率」はなにが「異なる」のか、できれば簡単な例を挙げて、説明をお願いします。
P(A1)は書いてあるとおり、起こされた時にそれがA1(に対応する目覚め)である確率ですね。
返信削除事象の発生確率は普通に考えたら、
1回の試行においてその事象が発生する確率ですね。
この問題では1回の実験を一つの試行と考えるしかないと書いていますから、
1回の実験でその事象が発生する確率ということです。
PR(A1)は1回の実験で事象A1が発生する確率です。
P(A1)とPR(A1)の意味が異なるのは明らかだと思います。
＞起こされたときがA1,B1,B2である”確率”はそれぞれ1/2,1/4,1/4。
削除＞これはA1,B1,B2の”発生確率”とは異なります。
もう一度。
”一般的に”、普通の「確率」と「発生確率」はなにが「異なる」のか、できれば簡単な例を挙げて、説明をお願いします。
発生確率は事象が発生する確率、起こる確率ということで特別な意味はありません。
削除PとPRの違いは上で説明したとおりです。
あの説明で理解できないのであれば諦めてください。
＞発生確率は事象が発生する確率、起こる確率ということで特別な意味はありません。
返信削除＞PとPRの違いは上で説明したとおりです。
＞あの説明で理解できないのであれば諦めてください。
はい、サッパリ理解できません。
ありがとうございました。
難しいことを考えなくても、月曜であることを知った場合にAである確率は簡単に分かります。
返信削除どちらの場合も最初に月曜日に起こされるのですから、
実験が始まってから初めて起こされたということですね。
コインが投げられてから最初に起こされるまでに何も起こりませんので、
コインの表が出る確率そのままで1/2です。
「実験が始まりました。コインが表であった確率は？」
という質問と同じことなのです。
1/2以外の答えを出している人はベイズの定理の原理を理解せずに
無理矢理定理を適用したりしているだけです。
数学素人です。表の時一回起こされて、裏の時二回起こされるなら、期待値で、一回の実験で起こされる回数は1.5回になりませんか？一回の実験で表の時に起こされる回数が0.5回で裏の時に起こされる回数は1回とすると、質問の答えが裏の確率は2/3になると思ったのですが。
返信削除私もプロではないので素人です。
返信削除確率の計算では、1回の試行において結果が確率的にだけ決まる
ということが前提になっています。
起こされるのを試行と考えた場合、
起こされる前に結果は決まっていますから、試行の条件を満たしておらず、
期待値の計算をしても意味がないのです。
ちょっと前にこの辺について考察したものを書きましたので
よければご覧ください。
確率の基本
眠り姫問題再考
本文にも追記しておきます。
はじめまして。少し興味があってコメントします。
返信削除まず前提として、以下の条件は問題文に記述されている必要があると思います。
【条件】「実験者が被験者にする質問は、必ず質問1～質問3の3つであり、他の質問はしない。また、被験者はそれを理解している。」
この条件が無いと、質問のバリエーションによる確率の変化を考慮する必要が生じて、問題が複雑化します。
ここでは、この条件がある前提で話を進めます。
（あと、月曜日が実は翌週の月曜日だったみたいな捻くれた解釈も無しにします。）
本題の質問1～3ですが、“誰の視点（立場）での確率を求めるのか”が明確にされていないので、解釈の余地があります。
具体的には、「①眠り姫本人の立場での確率を求める」のか、「②実験を俯瞰する第三者的な立場での確率を求める」 のか、「③実験者の立場での確率を求める」のかで確率が変わると考えられます。
詳細を下記します。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇
①【眠り姫本人の立場での確率を求める場合】
この場合、眠り姫本人の視点で起こりうる事象（事前事象）は以下のA、B1、B2の3通りです。
A :コインが表－今日は月曜日
B1:コインが裏－今日は月曜日
B2:コインが裏－今日は火曜日
それぞれの確率は、
A＝1/2×1＝1/2
B1＝1/2×1/2＝1/4
B2＝1/2×1/2＝1/4
コインが裏の場合、眠り姫は月曜日と火曜日の2回起こされるのですが、月曜日に記憶を消されるため、
眠り姫はあたかも1回しか起こされていないかのように錯覚します。
日曜日に眠らされた後、月曜日か火曜日のどちらかにランダムでタイムスリップすると考えると分かりやすいと思います。
(質問1)「コインを投げたときに表であった確率は？」
⇒答え P＝A/(A+B1+B2)=1/2
(質問2)「今私が書いた記録がAであった確率は？」
⇒答え P＝A/(A+B1+B2)=1/2
(質問3)「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
⇒答え
事前事象のB2が排除されるので、
P＝A/(A+B1)=2/3
タイムスリップで例えるなら、コインが表の時にはタイムスリップ先は必ず月曜日になりますが、
コインが裏の場合のタイムスリップ先は月曜日か火曜日のどちらかで半々の確率になります。
質問文を「タイムスリップ先が月曜日だとすると、今が場合Aである確率は？」に読み替えると、
コインが表である確率の方が大きいことが想像できるのではないでしょうか。
※ なお、眠り姫は今日の曜日が分からないので、月曜日に質問しても火曜日に質問しても結果は変わりません。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇
②【実験を俯瞰する第三者的な立場での確率を求める場合】
第三者的な立場の場合、考えられる事前事象がそもそも①と異なります。
（第三者はコイン投げの結果を見ていないものとします。）
想定される事前事象は以下のA、Bの2通りです。
A:コインが表－月曜日に起こされて質問
B:コインが裏－月曜日に起こされて質問－火曜日に起こされて質問
それぞれの確率は、
A＝1/2×1＝1/2
B＝1/2×1×1＝1/2
そして質問の答えですが、第三者的な立場の場合、月曜日に質問されるときと火曜日に質問されるときで結果が変わります。
(質問1)「コインを投げたときに表であった確率は？」
【質問が月曜日にされた場合】
⇒答え P＝A/(A+B)＝1/2
【質問が火曜日にされた場合】
⇒答え
事前事象のAが排除されるので、
P＝無/B＝0
火曜日に質問された時点でコインが表だった可能性が無くなるので、確率は０です。
(質問2)「今私が書いた記録がAであった確率は？」
⇒質問1と同じなので省略します。
(質問3)「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
⇒質問1の【質問が月曜日にされた場合】と同じです。
P＝1/2
これについては、火曜日に質問されても同じです。
この問題を解く我々は「第三者的な立場」になるので、こっちの回答の方がしっくりくる感じがしてしまうのでしょうね・・・。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇
③【実験者の立場での確率を求める場合】
実験者の立場の場合、想定される事前事象は②とほぼ同じです。
A:コインが表－月曜日に起こして質問
B:コインが裏－月曜日に起こして質問－火曜日に起こして質問
それぞれの確率は、
A＝1/2×1＝1/2
B＝1/2×1×1＝1/2
(質問1)「コインを投げたときに表であった確率は？」
(質問2)「今私が書いた記録がAであった確率は？」
【質問が月曜日にされた場合】
⇒答え
コイン投げの結果が表の場合、P＝A/A＝1
コイン投げの結果が裏の場合、P＝無/B＝0
月曜日の時点では、実験者はコイン投げの結果を知っているため、確率は0か1です。
【質問が火曜日にされた場合】
⇒答え
事前事象のAが排除されるので、
P＝無/B＝0
火曜日に質問された時点でコインが表だった可能性が無くなるので、確率は０です。
(質問3)「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
質問1の【質問が月曜日にされた場合】と同じです。
⇒答え
コイン投げの結果が表の場合、P＝A/A＝1
コイン投げの結果が裏の場合、P＝無/B＝0
最後にまとめます。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
(質問1)「コインを投げたときに表であった確率は？」
【月曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒1/2
第三者の立場の確率⇒1/2
実験者の立場の確率⇒1 or 0
【火曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒1/2
第三者の立場の確率⇒0
実験者の立場の確率⇒0
(質問2)「今私が書いた記録がAであった確率は？」
【月曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒1/2
第三者の立場の確率⇒1/2
実験者の立場の確率⇒1 or 0
【火曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒1/2
第三者の立場の確率⇒0
実験者の立場の確率⇒0
(質問3)「今日が月曜だとすると、今が場合Aである確率は？」
【月曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒2/3
第三者の立場の確率⇒1/2
実験者の立場の確率⇒1 or 0
【火曜日に質問された場合】
眠り姫の立場の確率⇒2/3
第三者の立場の確率⇒1/2
実験者の立場の確率⇒1 or 0
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
「被験者が起きる度に実験者が次の質問をします」
返信削除と書いてありますから、質問されるのも答えるのも被験者です。
被験者の立場で考えるべき問題だということは明らかだと思います。
持っている情報が同じであれば立場が違っても答えは同じです。
答えるのが被験者であっても、他人の立場を想定した確率を答えることは可能です。
返信削除「今日が月曜だとすると、コインが表である確率は？」と聞かれて、「実験者の場合は、月曜日には答えを知ってるので確率は０か１のどちらかです。」のように実験者目線で回答することはできますし、
それが不正解であるとも言えません（ひねくれ者のレッテルは貼られますが・・・）。
また、実験者、被験者、第三者の立場において、持っている情報は同じではありません。
被験者の置かれている状況に基づいて、被験者目線で求める確率を正解とするならば、「今日が何曜日か分からない」「月曜日に起こされても火曜日に起こされても、初めて起こされたかのように錯覚する」という
仮想的な世界にいる者の視点で確率を求めないと正解とは言えないでしょうね。
そういう仮想的な世界を想定して確率を計算するのが不正解だとすると、火曜日に「コインが表である確率は？」と聞かれて1/2と答えるのも不正解になりますね。
現実的には、火曜日に質問された場合は「コインが表である確率」は０に決まっていますが、仮想的な世界にいる被験者にとっては、「コインが表である確率」は０であるはずがありません。
現実的視点の確率と仮想的視点の確率が一致しないのはおかしのことではないですし、どちらかが正解でどちらかが不正解ということでもないと思います。
（むしろ正解は複数あって然るべきです。）
「誰の視点（立場）での確率を求めるのか”が明確にされていない」
返信削除と思うのであれば、問題文に追記するなりして明確にすれぱいいだけのことですね。
そうですね。
削除そして「今日が月曜だとすると、コインが表である確率は？」が被験者本人の視点で確率を求める問題だとすると2/3になるということです。
その確率は2/3だという人もいれば1/2だという人もいて、
返信削除この食い違いが眠り姫問題の本質だと思います。
私は1/2が正解であり、他の答えは間違いだという主張をしています。
元々被験者は「①今日が何曜日なのか分からない」「②起こされたのが何回目なのか分からない(いつも1回目だと錯覚する)」という特殊な状況にあるのですが、
削除「今日が月曜日」という情報を得た時、①と②が解消され、第三者と被験者の持っている情報が一見同じような状態になります。
これにより、「被験者の立場での確率」＝「第三者の立場での確率」になると考え、「今日が月曜日であるときに表である確率」が1/2になると考察されているのでしょうか。
被験者目線で考えられる事象（A）と第三者目線で考えられる事象（B）は、本来下記の(A)、(B)の違いがあるのですが、
「今日が月曜日」の情報を得た瞬間に、被験者に想定される事象が（A）から（B）に遷移するような考え方をされているようです。
この考え方はあまり適切でないように思います。
「今日が月曜日」の情報を得れば「第三者の立場」と同じ情報を得たことにはなりますが、それは事後にインプットされる情報がたまたま「第三者の立場」と同じだったというだけです。
事前に想定される事象自体を（A）から（B）に変更してしまうと、それは単に第三者の立場での確率を回答しただけであって、被験者の立場で回答したことにはならないと考えられます。
被験者目線の確率を回答するなら、（A）の事象をベースしたものを事前確率として、「今日が月曜日」の事後インプット情報を用いてベイズ更新するというやり方が
数学的に最も適切な方法であると考えます。
眠り姫問題の食い違いの本質は、（A）（B）の区別が曖昧になっているところにあるような気がします。
************************************************
被験者目線で考えられる事象（A）
A :コインが表－今日は月曜日
B1:コインが裏－今日は月曜日
B2:コインが裏－今日は火曜日
第三者目線で考えられる事象（B）
A:コインが表－月曜日に起こされて質問
B:コインが裏－月曜日に起こされて質問－火曜日に起こされて質問
************************************************
情報をいつ知ったのかは確率の計算には関係ありません。
削除ベイズの定理にしても、条件に合わない事象を除去して確率を計算しているのと同じで、
元々その事象がなかった場合と結果は変わりません。
この問題の場合に食い違いが起こるのは、
試行の条件を満たしていないものを試行とみなして、不適切な計算をしているからです。
「眠り姫問題再考」の方にも書き込みがあったのでそちらも読まれたはずですが、
この辺のことはそっちにしっかり書いてあります。
ベイズの定理は、条件に合わない事象を除去して確率を計算しますが、元々その事象がなかった場合とは同じではありません！！
削除情報をいつ知ったのかは確率の計算おいて“極めて重要”ですよ。
例えば、以下の問題を考えてみてください。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
この問題の場合、
・カードを渡された後に「月曜日」と分かったなら 2/3
・初めから「月曜日」のカードを渡されると分かっていたなら 1/2
となります。
この確率の違いが「矛盾」だと思われるなら、確率の基本的な所で勘違いされている可能性がありますね。
*********************************************
①カードを渡された後に「月曜日」と分かった場合は、
A :コインが表－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
B1:コインが裏－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1/2＝1/4
B2:コインが裏－火曜日 ⇒ 確率：1/2×1/2＝1/4
よって、P＝A/(A+B1)＝2/3
************************************************
②初めから「月曜日」のカードを渡されると分かっていた場合は、
A :コインが表－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
B :コインが裏－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
よって、P＝A/(A+B)＝1/2
************************************************
コインが裏だった時に、被験者は月曜日と火曜日の2回起こされるものの、
削除月曜日に起きた被験者は火曜日に起きる自分を知らず、また火曜日に起きた被験者は月曜日に起きた自分を知らないのです。
被験者目線で確率を求める場合、「月曜日に起きた被験者」と「火曜日に起きた被験者」は区別して考える必要があります。
これを再現できる最も近そうな問題を考えてみました。
*********************************************
見た目がそっくり過ぎて第三者には区別のつかない双子の被験者がいる。
それぞれ被験者A、被験者Bとする。
コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを2人の被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚だけ被験者Aに渡し、残った方のカードを被験者Bに渡す。
なお、2人の被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者及び第三者の視点でそれぞれ求めよ。）
*********************************************
第三者の場合、2人の被験者の区別がつかないため、「被験者A」、「被験者B」を「被験者」として一括りにしてしまいます。
その場合、コインが表であった確率は1/2です。
一方、被験者の視点の場合、それぞれの被験者はお互いの区別がつくため、
・被験者Aの視点で、コインが表であった確率は2/3
・被験者Bの視点で、コインが表であった確率は2/3
となるわけです。
8/4の書き込みについて。
削除②の計算は間違っています。
場合の数で確率を計算するときは、
すべての場合が同様に確からしくないといけません。
これは確率の基本中の基本です。
同様に確からしい場合にするには、Aの場合も2つに分ければよいです。
Aの場合もランダムに2枚のカードから1枚を渡すものとします。
2枚とも「月曜日」と書かれています。
A1:コインが表-月曜日(1枚目のカード)
A2:コインが表-月曜日(2枚目のカード)
B1:コインが裏-月曜日
B2:コインが裏-火曜日
この4つは同様に確からしいといえます。
B2が元々なかったとすると、
すべての場合の数は3、
コインが表であった場合の数は2ですので、
コインが表であった確率は2/3です。
つまり、この例は私の主張に対する反例にはなっていません。
ある情報を得たときには場合の数が変化しますが、
確率の計算は変化後の場合の数で行われるため、
その変化がいつあったのかは計算に影響を与えません。
8/5の書き込みについて。
これは元々の実験とは別物ですね。
同じ確率になるという数学的な根拠がないので、
説得力はありません。
＞場合の数で確率を計算するときは、
削除＞すべての場合が同様に確からしくないといけません。
＞これは確率の基本中の基本です。
物凄い理論ですね。失礼ながら笑ってしまいました。
ジョークで仰ってるのですかね。きっとそうですよね・・・。
＞同様に確からしい場合にするには、Aの場合も2つに分ければよいです。
＞Aの場合もランダムに2枚のカードから1枚を渡すものとします。
＞2枚とも「月曜日」と書かれています。
＞A1:コインが表-月曜日(1枚目のカード)
＞A2:コインが表-月曜日(2枚目のカード)
＞B1:コインが裏-月曜日
＞B2:コインが裏-火曜日
Aを2つに分けたところで何も変わりません。
①カードを渡された後に「月曜日」と分かった場合は、
A1の確率: 1/2×1/2＝1/4
A2の確率: 1/2×1/2＝1/4
B1の確率: 1/2×1/2＝1/4
B2の確率: 1/2×1/2＝1/4
P＝(A1+A2)/(A1+A2+B1)＝2/3
②初めから「月曜日」のカードを渡されると分かっていた場合は、
(初めからB2がないと分かっていた場合)
A1の確率: 1/2×1/2＝1/4
A2の確率: 1/2×1/2＝1/4
B1の確率: 1/2×1＝1/2
P＝(A1+A2)/(A1+A2+B1)＝1/2
迷走中のほにょこさんの為に次の問題を捧げます。
返信削除◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「1」の数字が書かれたカードを被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインが裏の時に「1」のカードを渡される確率は「1億分の1」です。
普通に考えれば、「1」のカードを渡された時点で、コインが表なのは確定的ですが、
ほにょこさんが力説されている謎理論でこれを証明できますか？
ちなみに、正しい答えは「100000000/100000001」ということで、百分率で表すなら99.999999%の確率でコインは表です。
なぜか謎理論扱いされていますが、あれは確率の定義そのものですよ。
返信削除とあるサイトから引用すると、
ある試行で起こりうる全体の場合の数が N 通りで，
各々の起こり方が同様に確からしいとき，
ある事柄が起こる場合の数が n 通りならば
その確率は p=n/N
引用元:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/probability1.htm
1憶枚のカードの例について。
なぜ計算できないと思われるのか分かりませんね。
同様に確からしい場合に分割して場合の数で計算すればいいだけです。
表が出た場合は「1」と書かれた1憶枚のカードの中からランダムに1枚渡すとして、
A(1):コインが表で「1」のカード(1枚目)
A(2):コインが表で「1」のカード(2枚目)
・・・
A(1憶):コインが表で「1」のカード(1憶枚目)
B(1):コインが裏で「1」のカード
B(2):コインが裏で「2」のカード
・・・
B(1憶):コインが裏で「1憶」のカード
これらはすべて同様に確からしいといえます。
「1」のカードの場合だけを数えると、全部で1憶+1個。
そのうちコインが表の場合は1億個。
「1」のカードを渡されたとき表であった確率は、1憶/(1憶+1) と求められます。
カードが1憶枚にしろ2枚にしろ、
実験の前にどのカードが渡されるのか知ることは現実には不可能なので、
この例で議論しても不毛だと思います。
現実的な例を挙げてください。
同様に確からしい場合の計算方法の話なんかしておりません。
削除私が否定したのは、同様に確からしくない場合の処理ですね。
「確率を計算するときはすべての場合が同様に確からしくないといけない」が確率の基本中の基本だとか言って、
同様に確からしくない事象を、同様に確からしくなるように意図的に操作しているあたりが謎理論です。
百歩譲ってそれでも良いとして、次の場合はどのようにして同様に確からしくなるように操作するのでしょうか。教えてください。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「1」～「7」の数字が書かれた7枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
＞カードが1憶枚にしろ2枚にしろ、
＞実験の前にどのカードが渡されるのか知ることは現実には不可能なので、
＞この例で議論しても不毛だと思います。
＞現実的な例を挙げてください。
その通りです。
つまり、実験者の立場では、実験の前にどのカードが渡されるか分からないので、
「②初めから「月曜日」のカードを渡されると分かっていた場合」ではなく、「①カードを渡された後に「月曜日」と分かった場合」で計算しなければならないのです。
眠り姫問題も同じで、眠り姫の立場では今日が月曜日なのか火曜日なのか分からないので、「最初から今日が月曜日であると分かっている」を前提とした計算は不適切なのです。
意図的に分割して何がいけないのでしょう。
返信削除どこにも論理的におかしいところはなく、正しい確率が計算できています。
これが謎理論ならば図形の問題で補助線を引くのも謎理論ですね。
私はいつでも必ず同様に確からしい場合に分割できるとは言っていません。
あの例では同様に確からしい場合に分割でき、
確率の定義に則ってあのように計算できるというだけのことです。
仮に分割不可能な例があったとしても分割可能な場合の計算が間違っていることにはなりません。
なので新たに提示された例について分割可能なことを示す必要は全くないのですが、
簡単なので書いておきますね。
赤いカード7枚から1枚をランダムに渡し、青いカード1憶枚から1枚をランダムに渡すと考えればよいです。
コインが表だった場合は赤いカードは1～7、青いカードはすべて白紙
コインが裏だった場合は赤いカードはすべて白紙、青いカードは1～1憶
とします。
色をつけたのは区別をつけやすくするためで特に意味はありません。
これで2×7×1憶個の同様に確からしい場合に分割できます。
コインが表で1のカードが渡される場合の数は1憶。
コインが裏で1のカードが渡される場合の数は7。
1のカードが渡されたときにコインが表であった確率は、1憶/(1憶+7) です。
＞ベイズの定理は、条件に合わない事象を除去して確率を計算しますが、元々その事象がなかった場合とは同じではありません！！
＞情報をいつ知ったのかは確率の計算おいて“極めて重要”ですよ。
と力説されて、情報をいつ知ったかによって確率が異なる例を挙げられたはずですが、
実験前にどのカードが渡されるか知ることはできないのですから、
全く適切な例ではなかったわけですね。
“極めて重要”であるならば、私もその重要性を是非とも理解したいので、
情報をいつ知ったかによって確率が異なる現実的な例を教えてください。
上記の分割には不備がありましたので修正しておきます。
返信削除赤いカード、青いカードを渡したら、その時点でコインの裏表が分かってしまいますね(笑)。
赤いカード、青いカードをランダムに選び、
書かれている数字を白いカードに書き写して渡すことにします。
(赤いカード、青いカードのどちらか一方にのみ数字が書かれています)
赤いカード、青いカードは見せません。
むむ、これは斬新な解法なのか・・・。
削除謎理論の件は少し保留にさせていただきます。
ただ、そんな回りくどい考え方をしなくても、以下の解法の方が一般的でしょうね。
**************************************************************************
A：コインが表であってかつ「1」のカードが渡される確率＝1/2×1/7＝1/14
B：コインが裏であってかつ「1」のカードが渡される確率＝1/2×1/100000000＝1/200000000
「1」のカードが渡された時にコインが表である確率＝A/(A+B)＝1憶/(1憶+7)
**************************************************************************
A、Bの個別の確率は説明するまでもないでしょうが、乗法定理ですね。
コイン投げの確率と「1」のカード渡される確率を掛け算するだけです。
そして、コイン投げの結果に関係なく、最初から「1」のカードが渡されることが分かっていた場合は次の通りです。
**************************************************************************
（最初から「1」を渡されると知っていた場合）
A：コインが表であってかつ「1」のカードが渡される確率＝1/2×1＝1/2
B：コインが裏であってかつ「1」のカードが渡される確率＝1/2×1＝1/2
「1」のカードが渡された時にコインが表である確率＝A/(A+B)＝1/2
**************************************************************************
最初から「1」を渡されると知っていたなら、「1」のカードを渡される確率は１となるので、すこぶる当然な話ですね。
情報をいつ知ったかによって確率が異なるのは「当たり前」です。
＞実験前にどのカードが渡されるか知ることはできないのですから、
＞全く適切な例ではなかったわけですね。
「①どのカードが渡されるか後から知った」と「②どのカードが渡されるか最初から知っている」を同時に満たす問題なんか作れるわけがないでしょうにｗｗ
①の問題が出題された時は、①で解くのが正解であるという当然な話をしただけです。
逆に次ぎの問題は②の題意ですので、①で解くのは不適切となります。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「1」～「7」の数字が書かれた7枚のカードの中から「1」の数字が書かれたカードを選んで被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中から「1」の数字が書かれたカードを選んで被験者に渡す。
なお、被験者は「1」の数字が書かれたカードが渡されることを最初から知っているものとする。
ただし、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
「情報をいつ知っても確率が変わらない」というなら、上記の問題の答えは8月8日20:57に書いた問題と同じ答えになるのでしょうか？？
明らかに矛盾しますね。
カードをランダムに選んで渡すのに、
返信削除＞被験者は「1」の数字が書かれたカードが渡されることを最初から知っているものとする。
なんてあり得ないでしょう。
問題の設定自体が矛盾しています。
こんな問題について考えても意味がありません。
現実的な例を挙げてください って何回書けばいいんでしょうね。
情報を知る順番が変わっても確率は変わらないということを説明しておきます。
例えば次の問題を被験者視点、第三者視点で考えてみましょう。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、月曜日に被験者を起こす。
コインを投げて裏が出た場合は、実験者が「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚選び、
その曜日に被験者を起こす(他の曜日には起こさない)。
被験者が月曜日に起こされたとき、コインが表であった確率は？
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
もちろん被験者はコインの裏表は知りません。
被験者の立場で考えると、
1.今日、被験者(自分)は起こされた
2.今日は月曜日である
という順序で情報を得ます。
今日被験者は起こされた かつ 今日は月曜日である
という条件でコインが表であった確率を計算します。
コインの裏表を知らず、今日が月曜日であることを知っている第三者が
今日被験者が起こされたことを知った場合、
1.今日は月曜日である
2.今日、被験者は起こされた
という順序で情報を得ます。
最終的には被験者と同じ情報になります。
今日は月曜日である かつ 今日、被験者は起こされた
という条件でコインが表であった確率を計算します。
・今日被験者は起こされた かつ 今日は月曜日である
・今日は月曜日である かつ 今日、被験者は起こされた
という2つの条件が同値であることは明らかですよね。
同値な条件での確率を計算するのですから、一致して当たり前。
一致しない理由などありません。
情報を得る順序が変わっても論理積の計算順序が変わるだけです。
論理積については交換法則、結合法則が成り立ちますから、
計算順序がどう変わっても結果は同じです。
しばらくお盆休みのため、
返信削除次にここに書きこむのは8/17以降となります。
ゆっくり考えてください。
ほにょこさんは自分の主張をお忘れになられたのか、忘れたふりをされているのか知りませんが、
削除もともとは「条件に合わない事象を後から消去する」と「最初からその事象が無かった」が同じであるという主張をされていました。
それに対し、「①試行の過程で知った情報に基づいて後から事象を消去すること」と「②最初からその事象が無いことを知っている」では確率が異なるので、情報をいつ知ったのかは重要であると反論したまでです。
私が思うに、ほにょこさんはそんなに頭の悪い人ではないので、①と②の確率が異なることは既に気づいておられるのではないでしょうか？
「情報を知ったタイミングが違うと必ず確率が変わる」に論点をすり替えて反論なんかしていないで、素直に間違いをお認めになられた方が賢いと言えるでしょうｗ
（素で①＝②だと思われているなら失礼しましたｗ）
そんな話は確率とは関係ないので置いておきましょうか。
今回の問題ですが、セオリーに従い、事前に想定できる全事象を時系列に従って丁寧に書き出し、それぞれの確率を求めます。
（本当は樹形図を描きたいのですが、図の添付機能が無いのであえてこうしています。）
**************************************************************************
【被験者視点】
（カッコ内の数字は個別事象の確率です）
A: コインが表(1/2)→被験者は月曜日に起こされる(1)→被験者は今日起こされたと認識する(1)
P(A)＝1/2×1×1＝1/2
B: コインが裏(1/2)→実験者が「月曜日」のカードを引く(1/2)→被験者は月曜日に起こされる(1)→被験者は今日起こされたと認識する(1)
P(B)＝1/2×1/2×1×1＝1/4
C: コインが裏(1/2)→実験者が「火曜日」のカードを引く(1/2)→被験者は火曜日に起こされる(1)→被験者は今日起こされたと認識する(1)
P(C)＝1/2×1/2×1×1＝1/4
**************************************************************************
**************************************************************************
【第三者視点】
（カッコ内の数字は個別事象の確率です）
A: 今日は月曜日(1)→コインが表(1/2)→被験者は今日起こされる(1)
P(A)＝1×1/2×1＝1/2
B: 今日は月曜日(1)→コインが裏(1/2)→実験者が「月曜日」のカードを引く(1/2)→被験者は今日起こされる(1)
P(B)＝1×1/2×1/2×1＝1/4
C: 今日は月曜日(1)→コインが裏(1/2)→実験者が「火曜日」のカードを引く(1/2)→被験者は明日起こされる(1)
P(C)＝1×1/2×1/2×1＝1/4
**************************************************************************
「被験者が月曜日に起こされたとき、コインが表であった確率は？」の答えは、被験者・第三者ともに2/3です。
■ 被験者視点：P＝P(A)/｛P(A)+P(B)｝＝2/3
■ 第三者視点：P＝P(A)/｛P(A)+P(B)｝＝2/3
ところが、問題文を『被験者が今日起こされたとき、コインが表であった確率は？』に変えると、
被験者視点と第三者視点の確率が一致しなくなるのが今回の問題の面白いところでしょうか。
この場合、被験者視点の確率は1/2、第三者視点の確率は2/3となります。
被験者視点だと、「被験者が今日起こされる」の条件を満たす事象はA、B、Cの3通りなので、
■ 被験者視点：P＝P(A)/｛P(A)+P(B)+P(C)｝＝1/2
第三者視点なら、「被験者が今日起こされる」の条件を満たす事象はA、Bの2通りなので、
■ 第三者視点：P＝P(A)/｛P(A)+P(B)｝＝2/3
となるわけです。
少し補足です。
削除『被験者が今日起こされたとき、コインが表であった確率は？』の問題ですが、『「今日起こされる」という事象が発生したときにコインが表であった確率は？』の意図です。
この問題の「今日」を「質問日」と解釈すると、意味の分からない問題になってしまうので・・・。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
削除コインを投げて表が出た場合は、「1」～「7」の数字が書かれた7枚のカードの中から「1」の数字が書かれたカードを選んで被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中から「1」の数字が書かれたカードを選んで被験者に渡す。
なお、被験者は「1」の数字が書かれたカードが渡されることを最初から知っているものとする。
ただし、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
この問題は、あえてランダムに選ぶとは書いていないのですよ。
つまり、「1」の数字が書かれたカードを意図的に選んで被験者に渡し、被験者もそれを理解しているという状況です。
「①カードを渡された後に「1」と分かった」と「②初めから「1」のカードを渡されると分かっていた」が同じだとすると、
上記の問題と下記の問題の答えが同じにならないと矛盾ですよね？
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「1」～「7」の数字が書かれた7枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
ある事象が最初からなかったということについて。
返信削除ある試行Sの全事象がXとA1,A2,...,Anであるときに、事象Xが最初からなかった場合というのは、
全事象がA1,A2,...,Anである試行S'における各事象の確率を考えるということです。
試行Sを行う前に事象Xが起こらないことが分かっているなどという
わけの分からない状況ではありません。
試行S'における各事象の確率は、
試行Sにおいて事象Xが起こらなかったことが分かったときの各事象の確率に一致します。
被験者視点と第三者視点について。
＞ところが、問題文を『被験者が今日起こされたとき、コインが表であった確率は？』に変えると、
＞被験者視点と第三者視点の確率が一致しなくなるのが今回の問題の面白いところでしょうか。
第三者視点の確率とやらを計算する際には今日が月曜日だということを前提にしているようですが、
この問題の場合は今日が月曜日だとはどこにも書かれていません。
ありもしない前提で確率を計算して一体何の意味があるのでしょうか。
前提が異なるのですから、異なる問題を解いているだけのことです。
被験者が月曜に起こされた場合は、
被験者と第三者は情報を知る順序が異なるだけで、
最終的に持っている情報は同じになります。
この場合は同じ問題なので答えも一致します。
いやいやいや。
削除「事象Xが最初からなかった」と言われたら、確率を回答する人もそのことを認識していると解釈する方が普通でしょうに・・・。
むしろ、回答者側の認識と実際の試行が食い違っているなんていう想定は、確率の問題においてはタブーでしょうね。
回答者は与えられた情報に基づいて回答することしかできないのです。
極端な例を挙げましょう。
くじ引きにおいて、「10本中の1本が当たりである」という情報が与えられた時、情報を与えられた人にとって当たりくじを引く確率は当然1/10です。
しかし、このくじ引きはインチキが行われていて、実際には当たりくじが1本もなかったのだとしたらどうでしょうか？
それでも、与えられた情報が「10本中の1本が当たりである」なら、確率は1/10のまま変わらないと考えるべきなんですよ。
厳密にいえば、「情報が正しい場合に当たりくじを引く確率」と「情報が誤っている場合に当たりくじを引く確率」をそれぞれ求め、「情報自体が真実である確率」と「情報自体が誤っている確率」で按分するのが正解ですが、
「情報自体が誤っている確率」は0とみなすというのが、確率の計算においては暗黙のルールですよね。
下記の問題にしても、この問題が与えられた時の正解は 1憶/(1憶+7)です。
実際には、カードをランダムに選んでいなかったのだとしても、コインが裏の時のカードの枚数が100枚しかなかったのだとしても、「1」のカードが存在すらしていなかったのだとしても、両面に「裏」と書かれたインチキコインを投げたのだとしても・・・・、
・・・それらの情報が与えられないのであれば、確率は 1憶/(1憶+7)のままです。
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
コインを投げて表が出た場合は、「1」～「7」の数字が書かれた7枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「1」～「100000000」の数字が書かれた1億枚のカードの中からランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「1」の数字が書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇◇
10本中の1本が当たりであるくじ引きを行う場合、
返信削除考えられる事象は次の10個。
・ハズレ1を引く
・ハズレ2を引く
・ハズレ3を引く
・ハズレ4を引く
・ハズレ5を引く
・ハズレ6を引く
・ハズレ7を引く
・ハズレ8を引く
・ハズレ9を引く
・当たりを引く
最初から「当たりを引く」という事象がなかった場合と言われたら、
・ハズレ1を引く
・ハズレ2を引く
・ハズレ3を引く
・ハズレ4を引く
・ハズレ5を引く
・ハズレ6を引く
・ハズレ7を引く
・ハズレ8を引く
・ハズレ9を引く
の9個の事象しかなかった場合ということですね。
これ以外に解釈のしようがないと思うのですが。
つまり、ハズレ9枚でくじ引きをする問題として考えるということです。
回答者は「当たりを引く」という事象がないことは分かっています。
＞回答者側の認識と実際の試行が食い違っている
なんてことにはなりません。
ほにょこさんの8月17日のコメント①と8月18日のコメント②は、相反する主張をされていますね。
削除どちらかに統一願います。
①
>試行Sを行う前に事象Xが起こらないことが分かっているなどというわけの分からない状況ではありません。
②
>回答者は「当たりを引く」という事象がないことは分かっています。
「10本中の1本が当たりである」の問題で実際には当たりくじがない場合ですが、①の場合に当たりくじを引く確率は 1憶/(1憶+7)、
②の場合に当たりくじを引く確率は 0です。
誤記訂正です
返信削除①の場合に当たりくじを引く確率は 1/10
*********************************************
返信削除コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
*********************************************
ほにょこさんの8月17日の理論に従ってこの問題を解いてみましょう。
この問題における試行を「試行S」とすると、試行Sの全事象と確率は、
（試行S）
A :コインが表－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
B1:コインが裏－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1/2＝1/4
B2:コインが裏－火曜日 ⇒ 確率：1/2×1/2＝1/4
よって、「月曜日」と書かれたカードを渡された時コインが表であった確率は
P(試行S)＝A/(A+B1)＝2/3 です。
一方、事象B2が最初からなかった場合は、全事象がAとB1である試行S'における各事象の確率を考えるということになり、
（試行S'）
A :コインが表－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
B1:コインが裏－月曜日 ⇒ 確率：1/2×1＝1/2
よって、「月曜日」と書かれたカードを渡された時コインが表であった確率は
P(試行S')＝A/(A+B1)＝1/2 です。
P(試行S) ≠ P(試行S') の為、
『ベイズの定理により条件に合わない事象を除去して計算した確率は、元々その事象がなかった場合の確率と等しい』の仮説は、間違いであることが証明されました。
ただし、事象B2が最初からなかったという事実を回答者が知らない場合はこの限りでありません。
「事象B2が最初からない」の情報が回答者に与えらないのであれば、回答者は「試行S」の方で確率を計算することしかできないため、P(試行S)＝2/3 のままとなります。
＞相反する主張をされていますね
返信削除文脈を無視して文章の一部を切り取っているだけですね。
その二つは異なる試行についての話ですので何も相反していません。
＞の仮説は、間違いであることが証明されました
試行S'のときの計算が間違っていますので証明になっていません。
試行Sと試行S'は事象Xの有無が異なるだけです。
他の事象の起こる確率の大小関係は変わりません。
試行Sにおいて事象Aiが起こる確率をP(Ai)、
試行S'において事象Aiが起こる確率をP'(Ai)と表記することにすると、
・P(Ai)=P(Aj)であれば、P'(Ai)=P'(Aj)
・P(Ai)＜P(Aj)であれば、P'(Ai)＜P'(Aj)
・P(Ai)＞P(Aj)であれば、P'(Ai)＞P'(Aj)
となっていなければおかしいです。
P(A)=1/2、P(B1)=1/4であり、P(A)>P(B1)であるのに、
P'(A)=P'(B1)=1/2としているのが間違いです。
同様に確からしい場合に分割すれば正しく計算できます。
Aを2つの事象A1,A2に分割して、P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=1/4となるようにします。
P'(A1)=P'(A2)=P'(B1)であり、P'(A1)+P'(A2)+P'(B1)=1なので、
P'(A1)=P'(A2)=P'(B1)=1/3です。
P'(A)=P'(A1+A2)=P'(A1)+P'(A2)=2/3
となります。
B2（コインが裏－火曜日）の事象が最初からなかったということは、要するに下記の問題を解くということです。
削除ほにょこさんの中では、下記の問題の答えが 2/3になるということですね。
大変恐れ入りました（笑）
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コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
*********************************************
＞要するに下記の問題を解くということです。
返信削除違います。
それぞれの事象をもう少し詳しく書いてみると、
A:コインを投げたら表が出た
B1:コインを投げたら裏が出て、
「月曜日」「火曜日」と書かれた2枚のカードから1枚をランダムに選んだら、
「月曜日」のカードが選ばれた
B2:コインを投げたら裏が出て、
「月曜日」「火曜日」と書かれた2枚のカードから1枚をランダムに選んだら、
「火曜日」のカードが選ばれた
B2が最初からなかった場合、
A:コインを投げたら表が出た
B1:コインを投げたら裏が出て、
「月曜日」「火曜日」と書かれた2枚のカードから1枚をランダムに選んだら、
「月曜日」のカードが選ばれた。
の2つの事象だけの試行を考えることになります。
実際にコインを投げてカードを選ぶと考えると、事象B2をなかったことにするのは不可能なので、
元の確率の比率などから計算するしかありません。
B1はコインを投げた後に1/2の確率で起こることなので、
B1が起こる確率はAが起こる確率の半分です。
これはA,B1以外にどんな事象があろうとなかろうと成り立つことです。
P'(A)=2P'(B1),P'(A)+P'(B1)=1なので、P'(A)=2/3,P'(B1)=1/3となります。
B2（コインが裏－火曜日）の事象が最初からなかったということは、コイン投げの結果に関わらず確率１で「月曜日」のカードが渡されるということです。
削除これ以外に解釈のしようがありません。
＞P'(A)=2P'(B1),P'(A)+P'(B1)=1なので、P'(A)=2/3,P'(B1)=1/3となります。
これはP(A)とP(B1)の比率を保持したまま、P(A)+P(B1)=1 となるように比例計算しているだけです。
『カードを渡された後に月曜日と分かった』の確率をわざわざ回りくどく計算しているだけですね。
当然、『B2の事象が最初からなかった』を表すものではありません。
コイン1,コイン2の2枚のコインを使った実験を考えてみましょう。
返信削除コイン1を投げて裏表を確認した後、コイン2を投げて裏表を確認します。
A1:コイン1が表
B1:コイン1が裏で、コイン2が表
B2:コイン1が裏で、コイン2が裏
という事象を考え、B2の事象が最初からなかったとすると、
P'(A)=P'(B1)=1/2
別の実験として、2枚のコインを同時に投げて裏表を確認します。
A1:コイン1が表
B1:コイン1が裏で、コイン2が表
B2:コイン1が裏で、コイン2が裏
という事象を考え、B2の事象が最初からなかったとすると、
P'(A)=2/3,P'(B)=1/3
そちらの理論に従えばこういうことになると思われます。
この2つの実験は確率的には全く同じものとしか思えませんが、
事象B2が最初からなかったとしたときの確率は異なる
ということでよろしいでしょうか？
今回のほにょこさんの考察はかなりいい線いっています。
削除100点満点中80点ぐらいですね。
コインを2枚投げる場合の全事象は言うまでもなく以下の4通りです。
A コイン1が表、コイン2が表
B コイン1が表、コイン2が裏
C コイン1が裏、コイン2が表
D コイン1が裏、コイン2が裏
ここで、事象Dが初めから存在しない場合の確率ですが、これは『事象Dがない』をどのようにして実現させるかがポイントになってきます。
主には以下のような方法が考えられます。（他の方法もあります。）
① Dの事象が発生した時に、特定のコイン（コイン2）だけを意図的に表に変える。
② Dの事象が発生した時に、コイン1かコイン2のどちらか一方をランダムに選んで意図的に表に変える。
③ Dの事象が発生した時には、コイン投げをやり直す。
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【①の方法】
①の方法はコインを順番に投げて、1回ごとに表裏を確認する試行なら実現可能です。
つまり、最初に投げたコインが裏だった時に、次のコインを意図的に表にすれば実現できます。
『コイン1が裏の時にコイン2が表である確率』が1になることから、それぞれの事象の確率は以下の通りです。
A コイン1が表、コイン2が表 ⇒1/2×1/2＝1/4
B コイン1が表、コイン2が裏 ⇒1/2×1/2＝1/4
C コイン1が裏、コイン2が表 ⇒1/2×1＝1/2
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******************************************************
【②の方法】
②の方法はDの事象が発生した後に、出題者が意図的に1枚をひっくり返すことで、Dの事象を起こらなくさせる方法です。
①との違いは、ひっくり返すコインをどちらかに限定しない点です。
この場合の全事象と確率は以下の通りです。
A コイン1が表、コイン2が表 ⇒1/2×1/2＝1/4
B' コイン1が表、コイン2が裏 ⇒1/2×1/2＝1/4
C' コイン1が裏、コイン2が表 ⇒1/2×1/2＝1/4
D1 コイン1が裏、コイン2が裏、コイン1を表に変更 ⇒1/2×1/2×1/2＝1/8
D2 コイン1が裏、コイン2が裏、コイン2を表に変更 ⇒1/2×1/2×1/2＝1/8
ここで、
B（コイン1が表、コイン2が裏）の確率＝B'+D1 、
C（コイン1が裏、コイン2が表）の確率＝C'+D2
なので、ABCの確率は、
A コイン1が表、コイン2が表 ⇒ 1/4
B コイン1が表、コイン2が裏 ⇒1/4+1/8＝3/8
C コイン1が裏、コイン2が表 ⇒1/4+1/8＝3/8
となります。
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******************************************************
【③の方法】
③の方法は、Dの事象が発生した時は無効として、最初からやり直すことでDの事象を起こらなくさせる方法です。
（Dが起こった時は何度でもやり直す。）
起こりうる事象と確率は、
A' コイン1が表、コイン2が表 ⇒1/2×1/2＝1/4
B' コイン1が表、コイン2が裏 ⇒1/2×1/2＝1/4
C' コイン1が裏、コイン2が表 ⇒1/2×1/2＝1/4
D1 コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が表、コイン2が表⇒1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^2
D2 コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が表、コイン2が裏⇒1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^2
D3 コイン1が裏、コイン2が表－やり直し－コイン1が裏、コイン2が表⇒1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^2
D4-1 コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が表、コイン2が表⇒1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^3
D4-2 コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が表、コイン2が裏⇒1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^3
D4-3 コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が裏、コイン2が裏－やり直し－コイン1が裏、コイン2が表⇒1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2＝(1/4)^3
・
・
・
ここで、
A（コイン1が表、コイン2が裏）の確率＝A'＋D1＋D4-1＋・・・＝ Σ(1/4)^n
B（コイン1が表、コイン2が裏）の確率＝B'＋D2＋D4-2＋・・・＝ Σ(1/4)^n
C（コイン1が裏、コイン2が表）の確率＝C'＋D3＋D4-3＋・・・＝ Σ(1/4)^n
Σ(1/4)^n は n＝1～∞ の無限等比級数であることから、
Σ(1/4)^n＝｛1/(1-1/4)｝-1＝1/3
よって、
A コイン1が表、コイン2が表 ⇒ 1/3
B コイン1が表、コイン2が裏 ⇒ 1/3
C コイン1が裏、コイン2が表 ⇒ 1/3
となります。
******************************************************
今回のほにょこさんの考察は、最初の考察が①の方法、2番目の考察が③の方法であれば正解ということになります。
おめでとうございます。
＞Dの事象が発生した時は無効として、最初からやり直すことでDの事象を起こらなくさせる方法です。
返信削除＞（Dが起こった時は何度でもやり直す。）
この方法は擬似的ではありますが、ある事象が最初からなかったということを実現している
と思いますので、これを定義とすればよいですね。
この定義に基づいて考え直してみます。
試行Sの事象をXとA1,A2,...,Anとし、
事象Xが起こったときはこの試行をやり直し、事象Xが起こらなくなるまで繰り返す
という試行をS'とします。
試行Sにおける確率をP、試行S'における確率をP'で表記することにします。
任意の事象Aiについて、
P'(Ai)=P(Ai)*Σ(P(X)^k) (k=0,1,2,3,...,∞)
P(X)=1の場合は考えないことにして、
P'(Ai)= P(Ai)/(1-P(X))
これは試行Sを行った後に事象Xが起こらなかったと分かったという条件の時の
事象Aiが起こった確率と一致します。
『ベイズの定理により条件に合わない事象を除去して計算した確率は、元々その事象がなかった場合の確率と等しい』の仮説は、
正しいことが証明されました。
自分の思い込みによる仮説を肯定するために、都合の良い情報だけを抜き出して証明した気になってるだけですね。
削除『Dの事象がない』を実現する方法は①と②もありますので、
『ベイズの定理により条件に合わない事象を除去して計算した確率は、元々その事象がなかった場合の確率と等しい』が成立していないのは明らかです。
主張が首尾一貫してないように見えますので確認します。
返信削除コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚だけ被験者に渡す。
なお、被験者はコイン投げの結果を知らないものとする。
問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
この問題について、8/21に
＞B2（コインが裏－火曜日）の事象が最初からなかったということは、要するに下記の問題を解くということです。
＞コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
＞コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
＞問題：「月曜日」と書かれたカードを渡された時、コインが表であった確率は？（被験者の立場で求めよ。）
8/22には、
＞B2（コインが裏－火曜日）の事象が最初からなかったということは、コイン投げの結果に関わらず確率１で「月曜日」のカードが渡されるということです。
＞これ以外に解釈のしようがありません。
と断言しています。
一方8/23には、
＞事象Dが初めから存在しない場合の確率ですが、これは『事象Dがない』をどのようにして実現させるかがポイントになってきます。
＞主には以下のような方法が考えられます。（他の方法もあります。）
と言って、複数の方法を正解としています。
ということはこの問題についても、
B2の事象が発生した時は無効にして、最初からやり直すと考えてもいいわけですね。
「これ以外に解釈のしようがありません」という言葉と矛盾していると思うのですが、
どういうことなのでしょうか。
「これ以外に解釈のしようがありません。」は間違いです。
削除最初からやり直す方法に限定すればベイズの定理と一致するでしょう。
ただし、あくまでも限定条件をつけた場合のみ成立する話であって、『ベイズの定理により条件に合わない事象を除去して計算した確率は、元々その事象がなかった場合の確率と等しい』が正しいとは言えなせん。
それは訂正する必要性がありません。
ほにょこさんもご自分の間違っていた箇所はお認めになってください。
そうでないと議論が前進しませんので。
コインを投げて表が出た場合は、「月曜日」と書かれたカードを被験者に渡す。
削除コインを投げて裏が出た場合は、「月曜日」または「火曜日」と書かれたカードのどちらかをランダムに1枚だけ被験者に渡す。
（試行S）
A :コインが表－月曜日
B1:コインが裏－月曜日
B2:コインが裏－火曜日
ここで、「事象B2が初めからない」の解釈ですが、「事象B2が存在しない（経由することもない）」と解釈すれば
これを実現させる方法は「初めから火曜日のカードを取り除いておく（あるいは2枚とも月曜日のカードにしておく）」ぐらいしか思いつかないですね。
それが「これ以外に解釈のしようがありません。」の発言に繋がりました。
（今思えば、火曜日のカードを予め水曜日のカードにすり替えておく等の方法もあったかもしれませんが・・・。）
ところが、一旦事象B2が起こった後に、それを無効化する操作をした場合も「事象B2が初めからない」に含めると解釈すると、
その方法は無限に存在することになります。
例えば、「①事象B2が起こった後に火曜日のカードを月曜日のカードに変更する」、「②事象B2が起こった後にコインをひっくり返して表にする」
「③事象B2が起こった後に、コインを表に変更し、カードも月曜日に変更する」、「④事象B2が起こったらやり直す」などです。
そして無限に存在する方法の中に、たまたまベイズの定理と一致ものもあるということになります。
当然、それだけでは『ベイズの定理により条件に合わない事象を除去して計算した確率は、元々その事象がなかった場合の確率と等しい』が成立しているとは言えないでしょう。
そして、「ベイズの定理」と「元々その事象がなかった」の確率が一致しなかったとしても、矛盾でも何でもないということは言い切れます。
私より遥か高みにいる人のようですので、そんな人を相手に議論をしたのが間違いでした。
返信削除私の主張は思わず笑ってしまうようなジョークとしか思えないものらしいので、
力量の差は明らかですね。
こんなレベルの低い者が何を言っても馬鹿にされるだけでしょうから、これ以上の議論はしません。
自分の力量不足を噛みしめ、精進していきたいと思います。
長い間おつきあいいただきありがとうございました。
眠り姫問題の決着がつかなかったのが残念ですが、お付き合いいただきありがとうございました。
削除色々と煽ってしまってすみませんでした。少々大人げなかったです。
あと馬鹿にしているわけではないです。
例えば、試行をやり直して事象Xが起こらなくなるまで繰り返す場合の考察で、
P'(Ai)=P(Ai)*Σ(P(X)^k) (k=0,1,2,3,...,∞)
P'(Ai)= P(Ai)/(1-P(X))
私はこの法則に全く気付けなかったので、大変勉強になりました。